qr 분해 예제

비정사각형 행렬 A에 대한 QR 분해를 가정하기: Gram-Schmidt 프로세스, 가정용 변환 또는 주어진 회전을 통해 QR 분해를 실제로 계산하는 몇 가지 방법이 있습니다. 각각에는 여러 가지 장점과 단점이 있습니다. 행렬 Q는 직교이고 R은 상부 삼각형이므로 A = QR은 필수 QR 분해입니다. 그람 슈미트 절차는 또 다른 매트릭스 분해를 제안, 해결책을 찾기 위해, x ^ {디스플레이 스타일 {hat {x}} , 초과 결정 (m ≥ n {displaystyle mgeq n} ) 문제 A = b {디스플레이 스타일 Ax = b} 이는 규범을 최소화하는 * * x ^ – b A{모자 {x}}-b|} 먼저 A: A = Q R {디스플레이 스타일 A=QR}의 QR 분해를 찾습니다. 그런 다음 솔루션은 x ^ = R 1 – 1 ( Q 1 T b) {hat {x}}=R_{1}={1}{-1}왼쪽(Q_{1}{{\텍스트)으로 표현할 수 있습니다. F {T}}bright)} 전체 지정형 법기준 Q {디스플레이 스타일 Q}와 R 1 {디스플레이 스타일 R_{1}}이 이전과 같은 위치입니다. 결정되지 않은 경우와 동등한 역치 대체를 사용하여 R 1 {디스플레이 스타일 R_{1}}}를 명시적으로 반전하지 않고 이 x^ {displaystyle {x}}}를 빠르고 정확하게 찾을 수 있습니다. (Q 1 {디스플레이 스타일 Q_{1}} 및 R 1 {displaystyle R_{1}}는 종종 숫자 라이브러리에서 “경제적” QR 분해로 제공됩니다.) 주어진 회전을 통한 QR 분해는 알고리즘을 완전히 악용하는 데 필요한 행의 순서가 결정하기에 간단하지 않기 때문에 구현하는 데 가장 많이 관련됩니다. 그러나 새로운 0 요소마다 i j {displaystyle a_{ij}}가 영(i)과 위 행(j)이 있는 행에만 영향을 미친다는 점에서 상당한 이점이 있습니다. 이렇게 하면 Givens 회전 알고리즘이 가정용 반사 기술보다 대역폭효율적이고 병렬화할 수 있습니다. 골룹 & 반 론 (1996, §5.2) Q1R1A의 얇은 QR 분해를 호출; 트레페텐과 바우는 이를 감소된 QR 분해라고 부릅니다. [1] A가 전체 랭크 n이고 R1의 대각선 요소가 양수인 경우 R1과 Q1은 고유하지만 일반적으로 Q2는 그렇지 않습니다. 그런 다음 R1은 A* A의 Cholesky 분해의 상부 삼각형 계수와 같습니다(A가 실제인 경우 = ATA).

선형 대수에서 QR 분해라고도 하는 QR 분해는 직교 행렬 Q의 제품 A = QR로 매트릭스 A의 분해이며, 상부 삼각형 행렬 R. QR 분해는 종종 선형 최소 제곱 문제를 해결하기 위해 사용되며 베이스입니다. 는 특정 이젠 밸류 알고리즘, QR 알고리즘에 대한 것입니다. 우리는 마찬가지로 주어진 행렬 G 2 {디스플레이 스타일 G_{2}와 G 3 {디스플레이 스타일 G_{3}}를 형성 할 수 있습니다, 이는 하위 대각선 요소를 00 21 {디스플레이 스타일 a_{21}} 및 32 {디스플레이 스타일 a_{32}} 직교 행렬 Q T {표시 스타일 Q^{textsf {T}}}는 모든 주어진 행렬 Q T = G 3 G 2 G 1 {표시 스타일 Q^{textsf {T}=G_{3}G_{2}G_{1}}의 곱으로 형성됩니다. 따라서 G 3 G 2 G 1 A = Q T A = R {디스플레이 스타일 G_{3}G_{2}G_{1}A=Q^{textsf {T}}A=R}이 있고 QR 분해는 A = Q R {디스플레이 스타일 A=QR} 여기서 (Q)는 직교 행렬이고 (R)는 위쪽 삼각형 행렬입니다. 소위 QR 분해는 선형 시스템, 이젠 값 문제 및 최소 제곱 근사치를 해결하는 데 유용합니다. 간단한 예제를 통해 작업하여 (QR) 분해 뒤에 있는 아이디어를 쉽게 얻을 수 있습니다.